سیکل های کانارد در جریان های سراسری

کاناردها اولین بار توسط ریاضیدانان فرانسوی در مطالعه نوسان_های آرام دو بعدی، خصوصاً نوسان های وندرپل کشف شدند. پدیده کانارد، توصیف کننده یک انتقال بسیار تند، تحت تغییرات یک پارامتر است که این انتقال، از یک سیکل حدی کوچک - دامنه به یک سیکل آرام بزرگ - دامنه توسط سیکل های کانارد انجام می شود. این انتقال بسیار تند که انفجار کانارد نامیده می شود، در یک بازه پارامتری کوچک رخ می دهد، در نتیجه آشکار سازی آن بسیار سخت است. به علاوه شکل یک سیکل کانارد در فضای فاز، شبیه به یک اردک است. روش های تحلیل پدیده کانارد، بر اساس آنالیز غیراستاندارد، بسط های مجانبی تطبیق یافته و روش بزرگ نمایی هستند. این روش ها باعث بسط یافتن نظریه اختلال تکین (قضیه فنیشل) در نقاط غیر هذلولوی شد. در میدان های برداری مختل شده تکین، که در آن ها میدان برداری مختل نشده، دارای یک منحنی بحرانی است، بسته به علامت دیورژانس میدان برداری در منحنی بحرانی، مدارها به سمت آن جذب یا دفع می شوند. هنگامی که به ازای برخی نقاط انشعاب، این علامت از منفی به مثبت تغییر کند، مدارها به سرعت پس از عبور از نقطه انشعاب، از منحنی دور می شوند. رفتار غیر معمول زمانی رخ می دهد که پس از عبور از نقطه انشعاب، مدار تا مدتی منحنی بحرانی را دنبال می کند و سپس از آن دور می شود. در این حالت یک تاخیر در انشعاب رخ می دهد. برخی سیستم ها، نمایش دهنده بحران های تکرار شونده ای هستند که تکامل تناوبی اشان را مختل می کند. بطور مثال می توان به مسائلی در علوم اجتماعی، فیزیولوژی، دینامیک های جمعیتی، اقتصاد و محیط زیست اشاره کرد. بسیاری از این سیستم های پیچیده، از نظر رفتاری به یکدیگر شباهت دارند. البته چنین سیستمی متشکل از دو نوع مقیاس زمانی مختلف است: یکی برای حالت تناوبی عادی و دیگری برای بحران های دوره ای. نکته بسیار مهم در این سیستم زنجیره غذایی، درک تطبیق بین دینامیک های کند و تند است که توسط تحلیل انشعابات دینامیک های تند انجام می گیرد. دینامیک های جمعیتی آشوبی، اولین بار در اواسط دهه هفتاد میلادی قرن بیستم با استفاده از نگاشت لجستیک کلاسیک مورد استفاده قرار گرفت و پس از آن مفهوم آشوب در مدل های زیستی به دفعات استفاده شد. جاذب هایی که در این مدل ها رخ می دهند، اکثراً از نوع راسلر می باشند. نسل بعدی زنجیره های غذایی آشوبی، توسط هستینگز کشف شد. نوع دیگری از زنجیره غذایی که شامل مدارهای گره زینی هموکلینیک شلنیکوف هستند، توسط مک کان و یودزیس بررسی شدند. تمامی این اکتشافات، برگرفته از مدل های ریاضی هستند. جاذب هستینگز به شکل فنجان چای است که بر اساس آن، یک مدل هندسی توسط کوزنتسف و رینالدی (1996) پیشنهاد شده است. در این مدل فرض بر اینست که جمعیت ابر شکارچی بطور آهسته در حال رشد است. اگر جمعیت ابر شکارچی ثابت در نظر گرفته شود، آنگاه سیستم را می_توان به عنوان خانواده ای دو بعدی از شکار و شکارچی با پارامتر ابرشکارچی در نظر گرفت. این خانواده تک پارامتری، تحت یک انشعاب هاپف فوق بحرانی قرار می گیرد. وقوع انشعاب هاپف، منجر به تشکیل خانواده ای از سیکل های تناوبی در زیر نقطه انشعاب و خانواده ای از نقاط تعادل پایدار در بالای نقطه انشعاب می شود. سیکل های تناوبی تشکیل یک رویه سهمیگون می دهند که در راس آن نقطه انشعاب قرار دارد و نقاط تعادل پایدار تشکیل یک منحنی می دهند که از راس سهمیگون شروع شده و از طریق یک انشعاب گره زینی به محدوده تراکم ابرشکارچی می رسند. بدین ترتیب، یک جاذب فنجان چای توسط قسمت های تناوبی انشعاب هاپف و منحنی نقاط تعادل تشکیل می شود. این جاذب را می توان با دنبال کردن یک مدار نوعی سیستم شکار – شکارچی تصور کرد که در آن، تغییرات پارامتر سیستم (نرخ مرگ و میر ابر شکارچی)، کند است.